Cläre Riedesel stammt aus einer kinder­reichen Arbeiterfamilie. Nach der Volks­schule besucht sie eine haus­wirt­schaft­liche Fort­bildungs­schule. 

Sie ist schon früh gewerk­schaft­lich aktiv, tritt in den Deutschen Textil­arbeiter-Verband (DTAV) ein und wird im Alter von 16 Jahren Jugend­vertreter­in im Betriebs­rat der Firma Huckenbeck in Wupper­tal. Ab 1922 ist Cläre Riedesel Mit­glied der KPD, ab 1928 Funk­tio­närin in der kom­munis­tischen Revo­lutio­nären Gewerk­schafts-Opposition (RGO).

Sie hei­ratet 1931 den Kom­mu­nis­ten Wilhelm Muth. Ge­mein­sam enga­gieren sie sich nach der national­sozialist­ischen Macht­über­nahme in der nun ver­boten­en KPD. Cläre Muth sorgt für sichere Treff­punkte von Funktionär­innen und Funktionären in Elber­feld. Mit anderen Arbeiter­innen bildet sie heim­liche Betriebs­gruppen, die kom­munis­tische Zeit­schrif­ten und Flug­blätter an die Beleg­schaften verteilen. 

Im Januar 1935 nimmt die Gestapo mehrere Per­so­nen aus ihrem Um­feld fest. Cläre Muth ent­geht durch Zufall der Ver­haf­tung, während ihr Ehe­mann fest­ge­nommen wird. Er ver­liert wenig später in der Haft sein Leben. Cläre Muth erfährt erst Mona­te später vom Tod ihres Mannes.

Aus Angst vor dro­hen­der Ver­fol­gung flieht sie in die Nieder­lande, später weiter nach Frank­reich. Auch im Exil en­ga­giert sie sich gegen die national­sozialis­tische Gewalt­herr­schaft. Wie viele deutsche Emi­gran­tin­nen und Emi­granten wird Cläre Muth in Frank­reich inter­niert und muss ein­einhalb Jahre im Lager Rieucros ver­bringen. Ende 1941 ge­lingt ihr die Aus­wan­derung nach Mexiko, dort heiratet sie 1942 in zweiter Ehe Richard Quast. 

1947 kehrt sie mit ihrem Mann nach Deutsch­land zurück. Sie leben in Ost-Berlin, Cläre Muth wird Gewerk­schafts­sekretärin im Freien Deutschen Gewerk­schafts­bund und arbeitet im Zentral­komitee der SED mit.